¿Cuáles son los elementos de un término?
Ya sabemos que un termino es el producto de (multiplicación) dos o más factores.

¾ ax³y²
Este término tiene los siguientes elementos: ¾  a   x³ y²

¾ que es nuestro factor numérico, le llamamos coeficiente numérico y a la parte que tiene las letras, les llamamos factor literal o parte literal.

La parte literal o factor literal esta compuesto de base y exponente
la base es la literal y
el exponente es el númerito que indica a que potencia esta elevada la literal.

  a à  a es la base , y 1 es el exponente…
  x³ à x es la base , y 3 es el exponente…
  y² à y es la base , y 2 es el exponente…

En los casos que el exponente NO ESTA ESCRITO como en  a se dice que su exponente es 1.
Cuando solo tenemos un término en una expresión algebraica, le llamamos también MONOMIO.

(5x)² + 6xy +23z

Es una expresión algebraica que consta de 3 términos (¡Claro, Adivinaste! se llamará TRINOMIO)
((6ab)² )³+ 12ab²x
Es una expresión algebraica que consta de 2 términos(¡Claro, Adivinaste! se llamará BINOMIO)

Para recordar, cada termino esta separado por los signos de suma y resta. Cuenta cuantas expresiones hay antes y después de los signos y sabrás cuantos términos tiene tu expresión algebraica.

Monomio : sólo tiene un término Ej. : 2x

Binomio : consta de dos términos Ej. : -2a + 3b2

Trinomio : consta de tres términos Ej. : x + y + z

Polinómio : tiene más de tres términos Ej. : x2 – y2 + 2x + 3y

Términos Semejantes:Cuando dos o más terminos tienen los mismos factores literales con el mismo exponente y solo cambia su coeficiente se le llama :TERMINOS SEMEJANTES.
45x, 6x, 86x -> Son terminos semejantes entre ellos (todos tienen x como parte literal)
45ab², 6ab², ¼ ab²-> Son terminos semejantes entre ellos (todos tienen ab² como  parte literal)

Dos o más términos semejantes pueden agruparse en un nuevo término. El nuevo término tiene los mismos factores literales como los términos semejantes, pero su coeficiente es la suma (resta) de los coeficientes de términos semejantes. Este proceso está conocido como agrupar términos semejantes

Reducción de términos semejantes: consiste en agrupar sumando o restando, según corresponda, los términos de una expresión que tengan la misma parte literal es decir,

las mismas letras con los mismos exponentes.

1.               (x+3x)+ (3x+6y) Si examinamos esta expresión algebraica, nos damos cuenta que tenemos los siguientes términos semejantes:
x  3x    3x  
realizamos primero la operación en el paréntesis (x+3x) sumamos el resultado 4x, tenemos una nueva expresión:
4x+ (3x+6y)
realizamos de nuevo la suma de los coeficientes con término semejante x
4x+3x la suma es 7x, y tenemos de nuevo una expresión que es 7x+6y
si revisamos esta expresión ya es irreductible, porque no existen más términos semejantes.

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Primero inspeccionamos la expresión y hacemos las operaciones indicadas dentro de los signos de agrupación empezando por los paréntesis interiores
(6ba+9ab) ¿¿son semejantes?? Sí, solo tenemos que ordenar la parte literal (ab)=(ba) …
(6ab+9ab)=15ab
volvemos a inspeccionar nuestra expresión… y vemos que en el interior de la división, la expresión ya no se puede reducir más…
entonces realizamos nuestra división…
15ab/5= 3ab  y  25/5 = 5 el resultado final de nuestra división es entonces: 3ab+5

Dos o más términos semejantes pueden agruparse en un nuevo término. El nuevo término tiene los mismos factores literales como los términos semejantes, pero su coeficiente es la suma (resta) de los coeficientes de términos semejantes. Este proceso está conocido como agrupar términos semejantes

• Una expresión algebraica : es uno o más términos algebraicos,(combinación de constantes, variables )  en dónde se indica alguna  operación. (Suma, Resta, Potencia, Raíz, etc.)

  Ej.:
  a) 3a + 2b , b) 2x + 6y - 3z  ,  c) 5ax    d) (6x^{2 *} 4xy)³
  

  Una variable es un símbolo que denota una cantidad numérica. Se indican por letras. El álgebra utiliza el concepto de una variable para generalizar los conceptos matemáticos a un grupo particular de números, por ejemplo el conjunto de números reales. El número que la variable representa es llamado ‘valor’. 

  Las constantes representan valores conocidos y que no cambian, los números, pi, g, e 

  Un término es un producto con un número no especificado de factores dónde los factores pueden ser
  variables o constantes. Las variables de un termino se les llama factores literales o parte literal, y a las constantes coeficiente numérico (o simplemente  coeficiente), del término. Términos cuyos factores son solamente constantes se les llama Términos constante.
  
  
  
  

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  Términos Semejantes: Términos semejante: Cuando dos o más términos tienen los mismos factores literales (o parte literal) y solo cambia su coeficiente se le llama: TERMINOS SEMEJANTES.

  45ab², 6ab², ¼ ab²

   Términos  que tienen los mismos factores literales y sólo difieren en sus coeficientes numéricos,  se llama las términos semejantes. 

  Dos o más términos semejantes pueden agruparse en un nuevo término. El nuevo término tiene los mismos factores literales como los términos semejantes, pero su coeficiente es la suma (resta) de los coeficientes de términos semejantes. Este proceso está conocido como agrupar términos semejantes. 

  Cuando cada variable en una expresión algebraica se reemplaza por un número, la expresión algebraica toma un valor numérico. Este proceso está conocido como evaluación de expresiones algebraicas.

  Ej. En la expresión  algebraica  2x + 5y

   2x, 5y son los términos

  
  El término 2x tiene un coeficiente de 2 y el factor literal es  x.
  El término 5y tiene un coeficiente de 5 y el factor literal es  y.
  Ya que  los términos 2x y 5y  no tienen el mismo factor literal de x, entonces no son términos semejantes.
   

  
  
  
  
  
  
  
  
• SIGNOS  ALGEBRÁICOS
  

  Los signos son de tres tipos:
                                     Agrupación
                                     Operación
                                     Relación
  Signos de Operación: todos aquellos que se utilizan para realizar las operaciones. (suma, resta, exponenciacion, radicación, etc)
  
  Signos de Relación, para indicar la relación que existe entre dos expresiones algebraicas y cantidades. (>,< , = ) , veremos las relaciones, es mayor es igual, es menor no es igual, etc.
  
  Signos de Agrupación :Permiten agrupar operaciones, indicando la prioridad en que deben de realizarse y también se usan para que sea más entendible la expresión. Paréntesis, Corchete, Llave, Barra.
  
  Reglas para simplificar expresiones con   Signos de Agrupación:
  Primero debemos realizar las operaciones indicadas dentro del signo de agrupación, de adentro hacia fuera (esto es a veces tenemos signos de agrupación dentro de otros signos de agrupación).
  
  Segundo: Si al signo de agrupación le precede el signo más (+) todos los terminos dentro del paréntesis (o llave o barra) se quedan con su mismo signo (+) o (-) NO CAMBIA EL SIGNO DE LOS TERMINOS.
  
  Tercero: Si al signo de agrupación le precede el signo menos (-) todos los terminos dentro del paréntesis (o llave o barra) cambian al signo opuesto si tiene (+) el termino cambia a  (-), si tiene (-) cambia  (+) SÍ CAMBIA EL SIGNO DE cada uno de los TERMINOS.
  
  
  

  
  

  ¿Qué es un monomio?

  Si tenemos 1 taza, ¿qué significa? …pues que tenemos un número 1, seguido de la propiedad taza. Pues eso es un monomio, Una expresión algebraica simple sin sumas ni restas, pero si puede tener multiplicación y división. 

  4gatos, 6libros, 2b, 3x, 4x²

  En griego MONOS significa unidad algo como un todo único,

  -2x²y

  En este monomio el número -2 se le llama coeficiente numérico
    x²y es la parte literal o factor literal.
  
  Y si examinamos el monomio anterior diríamos, que -2 multiplica a    x²y
   

  2x³

  En este ejemplo

  2×x×x×x.

  Vemos que es más fácil escribir  2x³ a tener que escribir
  2 por x por x  por x.

  Recuerda, que antes del coeficiente solamente se escribe el signo cuando es negativo (por comodidad, no esta prohibido escribir el signo más + )
  cuando escribas +1xy  simplemente pon xy y todos sabrán que es positivo.

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  En este  monomio veamos sus partes:
  -3a²x³
  El signo menos -         el numero 3         y la parte literal a²b³
  Podemos decir que un monomio es una agrupación de letras y números, que no tienen operaciones indicadas de suma o resta. Oh… esto sueno como un término.
  -3ab   = monomio
  45 - axy NO es  un monomio

  7axy  =  monomio
   

  

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  GRADO DE UN MONOMIO

  El grado de un monomio, es la suma de los exponentes de sus letras.
  
  Recordemos que el exponente indica el número de veces que una expresión se multiplica por si misma (potenciación)
  x= x¹ Cuando el exponente no esta indicado es 1
  3x³ = 3(x×x×x)

  En este monomio 3x³, el grado es 3
  En este monomio 2abc , el grado es 3  ya que:
   a tiene exponente 1,b tiene exponente 1, y c tiene exponente 1
  a¹b¹c¹ = grado 3 porque se suman los exponentes.
  Se dice que un monomio también puede ser en relación a una letra, esto es:

  Cuando en un monomio en la parte literal se tiene más de una letra, se puede sacar el grado del termino con respecto a la letra en cuestión:

  Ejemplo: 
  2abc tiene grado3 
  2a³x²y tiene un grado 6
  pero.. pero

  También tiene los siguientes grados:

  grado 3 con respecto a
  grado 2 con respecto x
  grado 1 con respecto y 
  ____
  6        … y si sumamos todos los grados, vemos que nuestro monomio tiene un
            grado de 6

  
  

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SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
 

Si yo sumo:

2 manzanas + 2  manzanas … obtengo 4  manzanas

si yo sumo

2 huevos + 1 milanesa  obtengo 1 milanesa con 2 huevos

si yo sumo

2 panes  + 3 panes obtengo 5 panes

si sumo

2 dulces + 3 chocolates obtengo 2 dulces + 3 chocolates

si sumo

2 a + 3b obtengo (2a + 3b)

si sumo

2 a + 3a obtengo 5a )

si sumo

2ab +3ba+4ab obtengo (2ab+3ab+4ab) = 9ab

si sumo

(2ab+3bc+3ab+4bc) obtengo (2ab+3ab+3bc+4bc) = (5ab+7bc)

Estos ejemplos nos indican claramente que solamente podemos sumar objetos que son del mismo tipo. Y de aquí podemos deducir la siguiente :
 Regla: Se pueden sumar dos monomios, siempre y cuando sean terminos semejantes(1), en tal caso se suman los coeficientes numericos, sin modificar la parte literal.

En caso de que los monomios no sean terminos semejantes, no se puede realizar la suma.

(1) Termino semejante: se dice de  los terminos que tienen la misma parte literal elevadas a la misma potencia.

Ejemplos
2ab+13ab=15ab
2x+x=3x
3ax+4by=3ax+4by
3a²b+2ab+5a²b= 3a²b+5a²b +2ab
se agrupan terminos semejantes y se realizan las operaciones.
                         =8a²b+2ab
no habiendo más terminos semejantes

RESTA DE MONOMIOS

Pues para restar las reglas son las mismas que para la suma, basta decir que como la resta es la operación inversa a la suma, pues en lugar de sumar, restamos

8a³b²-3a³b²=5a³b² la resta

7a³b²-4a²b² la resta no se puede realizar,  porque aunque las letras son iguales, no estan elevadas a la misma potencia, así que no hay terminos semejantes

PRODUCTO DE MONOMIOS
(MULTIPLICACIÓN)

Ley de los Signos

La ley de los signos dice los siguiente

+ multiplicado por + = +
+ multiplicado por - = -

- multiplicado por + = -
- multiplicado por - = +

+	+	+
-	+	-
-	-	+

Resumen:
Si los signos son iguales, el signo del producto es positivo +
Si los signos son opuestos, el signo del producto es negativo  - 

COCIENTE DE MONOMIOS
(DIVISIÓN)

Para obtener el cociente, de la división de dos monomios, tenemos que hacer lo siguiente:

1º Dividimos los signos de cada monomio de acuerdo a la ley de los signos
 (Nota: Si no hay signo a la izquierda del monomio, sabemos que es positivo +)
2º Realizamos la división de los coeficientes numéricos.
 (Nota: Si no hay coeficiente numérico en el monomio, sabemos que el coeficiente es 1)
3º Se realiza la división de los exponentes de la parte literal de acuerdo a las reglas de las potencias (se restan los exponentes)
 (Nota: Si no hay exponentes numéricos en el monomio, sabemos que el exponente es 1)

POTENCIAS DE UN MONOMIO

Definición:
Potencia, es el producto de la base por si misma tantas veces como lo indica el exponente.
Ejemplos

4x4x4 será igual a: 4³
11x11x11x11x11 será igual a: 11⁵
4x4 =  será igual a 4²
(4²)³ =  4² x 4² x 4²   por si misma 3 veces de acuerdo a la definición.
Pero como   4² = 4x4
(4x4) x (4x4) x (4x4) = 4⁶

Si contamos el numero de 4’s que nos da como resultado vemos que son 6.

Diremos que para elevar a potencia un monomio, se multiplican los exponentes de la base por la potencia.

Ya que  recordamos que elevar un número a una potencia, es simplemente una multiplicación repetida así que…diremos que hacer para elevar a potencia un monomio

 ((5)²)3 = 5^2x3   = 5⁶
((5)²)3 = 5² x 5² x 5² multiplicamos   5²  por si mismo 3 veces

También lo podemos escribir como

(5 x 5) x (5 x 5) x (5 x 5)

Ya que sabemos que: (5x5) = 5²

Entonces, nuestro resultado es:
((5)²)3 = 5^2x3   = 5<sup>6

Forma desarrollada:</sup>

(ax²)³ =(ax²) por (ax²) por (ax²)= a³x⁶

^{Forma rápida:}
(ax²)³ = a^1x3 x^2x3    =a³x⁶
Recapitulando:
Cuando se multiplican dos expresiones, sus exponentes se suman
1º    aⁿ * a^m = a^(n+m)

Ejemplo:(2³)⁴ = 2^(3*4) = 2¹²

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Un Numero primo, es aquel que  solo tiene dos divisores positivos esto es que divisible por si mismo y por la unidad

Ejemplo de  Números primos menores a 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
 
Todo numero natural diferente de 1, puede descomponerse en el producto de un numero exacto  de factores primos.

Ejemplo:

Buscar los factores primos del número 96.

96 | 2
48 | 2          Resultado 96 = 2⁵ * 3 * 1
24 | 2
12 | 2
 6 | 2
 3 | 3
 1 | 1

El Calculo del M.C.D. de dos o más números, se realiza del siguiente modo
1º  Buscando sus factores primos

2º  Se seleccionan los números que se repiten en el conjunto de números buscado y se multiplican, el resultado es el M.C.D.

Obtener el M. C. D. de 40 y 60:

60 | 2    40 | 2
30 | 2    20 | 2    
15 | 3    10 | 2     
 5 | 5     5 | 5     
 1 | 1     1 | 1

 entonces
M.C.D. 40 = 2x2x2x5x1 
M.C.D. 60 = 2x2x3x5       

tenemos en ambas columnas dos veces el 2 (2x2)
tenemos en ambas columnas una vez el 5 (5)
tenemos en ambas columnas una vez el 1 (1)
no se incluye el otro 2, ni el 3, Porque no están en ambas columnas.

Entonces al multiplicarlos obtenemos:
2x2x5x1 = ENTONCES M.C.D(40,60)=20
 



Obtener El M.C.D.  de 360, 5940 y 300
360 | 2    5940 | 2    300 | 2       360 = 2^2 * 2   * 3 * 3 * 5
180 | 2    2970 | 2    150 | 2      5940 = 2^2 * 3^2 * 3 * 5 * 11
 90 | 2    1485 | 3     75 | 3       300 = 2^2 * 3 * 5 * 5
 45 | 3     495 | 3     25 | 5      Agrupamos los factores comunes
 15 | 3     165 | 3      5 | 5      2^2 * 3 * 5  
  5 | 5      55 | 5      1 | 1      que estén en la factorización
  1 | 1      11 | 11               y obtenemos el M.C.D. 60
              1 | 1
      M.C.D  360=2x2x2x3x3x5x1
      M.C.D 5940=2x2x3x3x3x5x11x1
      M.C.D  300=2x2x3x5x5x1

Se repite solamente dos veces el 2 (en las tres columnas)2,2
se repite solamente una vez 3  (en las tres columnas) 3
y se repite solamente una vez el 5(en las tres columnas) 5  
entonces los multiplicamos:
2x2x3x5 = para obtener que
 M.C.D(300,360,5940)=60