GRADO DE UN POLINOMIO

Consideremos el siguiente polinomio 2a⁴+3a⁶b-4a+5
2a⁴ tiene  grado 4
+3a⁶b  tiene grado 7
-4a  tiene grado 1
5 tiene  grado 0 (no hay literales, aunque el coeficiente tenga grado 1)
El polinomio tendrá entonces grado absoluto de 7
 DEFINICION: El grado de un polinomio será igual al grado del monomio de mayor grado.

POLINOMIO ORDENADO

POLINOMIO COMPLETO

Si tenemos un polinomio ordenado descendentemente con respecto a a, que le faltan algunas potencias de la literal.
   4a³+6a+1
y para comprobarlo le agregamos el termino 0a² que no afecta la expresión,
 4a³+0a²+6a+1
En aquellos casos en que falten algunas potencias de la letra contra la cual se prueba el orden, se dice que el polinomio NO ES COMPLETO…
EJEMPLO:  a³+a+1  Polinomio no completo, le falta un termino que contenga la potencia a²,pero aun así sigue ordenado con respecto a a  porque lo podríamos escribir así:
a³+0a²+a+1
Resumiendo, un polinomio, ordenado con respecto a una literal, en el cual aparecen todas las potencias de la secuencia de la letra se le llama Polinomio Completo.
Ejemplo :

5a³x -7a²+4a+1 es un polinomio completo (contiene la secuencia: a³ y a² y a¹ y a⁰ .
Pero,
5a³-7a²+4a no esta completo, porque le falta  a⁰ .

SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS

Mencionamos que un Polinomio es una expresión algebraica con más de un término y que tiene indicadas las operaciones de suma o resta.
Si tenemos el siguiente polinomio y nos piden realizar la suma.

5a⁴ +6a²-4a+2+(a⁴-3a³-2a²+2a+5)

Pasos para resolverlo:

1º Inspecciona el problema o expresión algebraica que se te plantea.

2º Quita los signos de agrupación, realizando las operaciones que están dentro de los signos.
 Recuerda esto se hace si tenemos términos semejantes que se pueden reducir.
5a⁴ +6a²-4a+2+a⁴-3a³-2a²+2a+5

3º Ordena los términos semejantes en relación a una letra que han quedado después de quitar los signos de agrupación. En nuestro caso:
5a⁴ +a⁴-3a³+6a²-2a²-4a+2a+5+2
4º Realiza las operaciones indicadas para los términos semejantes..
5a⁴ +a⁴ =+6a⁴
-3a³= -3a³
+6a²-2a²= +4a²
-4a+2a = -2a
+5+2=+7
5º Reescribe el polinomio, poniendo los resultados con los signos que obtuvimos en cada operación:
+6a⁴ -3a³+4a²-2a+7

Método 2:
Sumando polinomios como suma aritmética.
 
Ya sea que nos planteen el problema como
Sumar 5a⁴ +6a²-4a+2 + (a⁴-3a³-2a²+2a+5)
o sumar
5a⁴ +6a²-4a+2 con (a⁴-3a³-2a²+2a+5)

Pasos para resolverlo:
1º Inspecciona el problema o expresión algebraica que se te plantea.
2º Colocamos cada polinomio como uno de los sumandos, como lo haríamos en una suma aritmética, ordenando cada columna, por términos semejantes.

5a⁴ +    +6a² -4a +2
a⁴  -3a³ -2a² +2a +5
----------------------------------

3º Realizar la suma.
5a⁴ +    +6a²  -4a  +2
a⁴  -3a³ -2a²  +2a  +5
---------------------------
6a⁴-3a3  +4a²  -2a   +7

Producto de Polinomios I

Pues ahora a  multiplicar polinomios, lo cual es igual de fácil que multiplicar monomios, solamente que lo haremos más veces.

Para multiplicar polinomios por polinomios o monomios por polinomios recuerda solamente que:
Todos los términos que están dentro del paréntesis deberán de ser completamente multiplicado, por cada uno de los términos que estén fuera del paréntesis.
Veámoslo multiplicando un monomio por un polinomio:
-3ab (6a²-4ab+5b²)=
primero multiplicamos -3ab por el primer termino del polinomio 6a², después por -4ab y al final por +5b²
Empezamos:
(-3ab)(6a²)= -18a³b

(-3ab)(-4ab)=+12a²b²

(-3ab)(5b2)=-15ab³

Y reescribimos nuestros términos con el signo que resulto de cada operación:

-3ab(6a²-4ab+5b²)=-18a³b+12a²b² -15ab³
-----------------------
es interesante recordar lo siguiente:
a (b+c)= ab+ac
lo cual nos dice que a tiene que multiplicar a ambos términos de la segunda expresión.
También podemos expresarlo un poquito más profundo de la siguiente manera:
(a+b) (c+d)= a (c+d)+ b(c+d)
realizamos las dos operaciones de multiplicar monomio por polinomio obtenemos:
a (c+d)= ac+ad
b (c+d)= bc+bd
reescribiendo todo:
(a+b) (c+d)=ac+ad+bc+bd
¿No esta tan claro? Revisa la multiplicación de monomios, te será de mucha ayuda

Veámoslo multiplicando un monomio por un polinomio:

Recuerda todos los terminos del primer polinomio deben de multiplicar a todos los terminos del segundo polinomio.

)(4a+3b)=
(3a-5b)(4a+3b)=
En nuestro ejemplo, debemos de multiplicar primero
3a  por (4a+3b)
y después multiplicar
(-5b) por  (4a+3b)
podemos reescribir nuestra multiplicación así:
3a(4a+3b)-5b(4a+3b)=
Iniciamos a multiplicar:
(3a)(4a)=12a²
(3a)(+3b)=+9ab
(-5b)(4a)=-20ab
(-5b)(3b)=-15b²
Reescribimos nuestro resultado con los signos que obtuvimos:
(3a-5b)(4a+3b)=12a²+9ab-20ab-15b²
Volvemos inspeccionar el problema, y podemos darnos cuenta que tenemos terminos semejantes.Realizamos la operación, sobre los terminos semejantes.
+9ab-20ab=-11ab
y reescribimos el resultado
(3a-5b)(4a+3b)=12a²-11ab-15b²

Otro más…pero ahora lo haremos como una multiplicación aritmética:
 (a³+5a²-4a-1)(2a²-a+4)=
Primero ponemos uno de los polinomios como multiplicando y el siguiente como multiplicador: 
los ordenamos con respecto a una letra.

            a³+5a²- 4a-1
               2a²-  a+4
------------------------ Y multiplicamos siempre
        + 4a³+20a²-16a-4  fijandonos de acomodar  
    - a⁴ - 5a³+ 4a²+  a    los terminos semejantes
2a⁵+10a⁴-  8a³- 2a²        en la misma columna.
------------------------
2a⁵+ 9a⁴- 9a³+22a²-15a-4